Fabrication d’un dynamomètre de haute sensibilité

Cette page est initialement la transcription d'un thread du forum lancé par Christophe Juillet.

Principe de fonctionnement

Le dynamomètre se compose d’un balancier accroché à un fil suspendu. Au centre du balancier se trouve un aimant qui a pour effet de s’aligner avec le champ magnétique terrestre et de maintenir le balancier dans une orientation donnée.

Lorsqu’on exerce une force sur le balancier, l’aimant exerce une force de rappel. On mesure l’angle de dérive du balancier à l’aide d’un pointeur laser qui projette un faisceau sur une feuille quadrillée.

Résumé en schéma : on place un réacteur actionné à l’aide d’une télécommande, sur le balancier, de façon qu’il produise une poussée horizontale perpendiculaire à l’axe du balancier, de façon à le faire tourner sur lui-même.

Réalisation

La première étape consiste à fixer un crochet au plafond.

On choisit ensuite un fil de nylon dont le diamètre est comprit entre 1 et 2 dixièmes de millimètres selon le poids du balancier.

Le choix du fil est un point important car il se comporte comme une barre de torsion de mauvaise qualité. Le nylon n’étant pas parfaitement élastique, il en résulte une hystérisie qui dégrade la précision du rappel. Pour l’expérience qui va suivre, est utilisé un fil de 0,1mm de diamètre dont la résistance à la traction est donnée pour 900 grammes, ce qui laisse une bonne marge. On trouve ce type de fil dans les magasins de pêche ou les grandes surfaces de matériel de sport.

La résistance d’un fil est proportionnelle à sa section, tandis que la force de rappel est proportionnelle au carré de sa section. La technique du balancier suspendu à un fil se prête donc mieux aux faibles charges. La force de rappel due au fil doit rester marginale face à celle due à l’aimant, qui lui se comporte comme une barre de torsion parfaite.
A chaque extrémité du fil, on attache un petit élastique de 20 à 40mm. Ils serviront d’amortisseur et faciliteront l’attache du balancier.
La longueur du fil sera de la hauteur du plafond moins 20 à 30 cm. On tiendra compte de l’allongement du fil sous charge.

On construit ensuite un balancier étalon dont on peut calculer facilement le moment cinétique.
Le balancier étalon est constitué d’une latte en bois dont on aura mesuré la longueur et la masse (sans le crochet ni l’aimant).
On perce ensuite un avant-trou au milieu, puis on y visse le crochet.
On fixe ensuite un petit aimant sur le crochet, comme sur la photo ci-dessous.

La latte utilisée ici est en pin avec des dimensions de 9*9mm et de 28,3cm de longueur. Sa masse est de 13,1 grammes.
L’aimant est un disque néodyme35 de 10mm de diamètre par 4 de longueur.

Calcul du moment cinétique:
MC = M * L²/12
MC: moment cinétique en grammes/mètres²
L: longueur en mètres
M: masse en grammes

Dans l’exemple ci-dessus, le moment cinétique du balancier est de 87,4mg/m^2.

Mesure de la force de rappel du fil
Pour une hauteur de fil de 2 mètres et un lest de 50 grammes nous obtenons :
420 picoNewtons / mètres / degrés avec le fil de 0,2 mm de diamètre et environ
28 picoNewtons / mètres / degrés avec le fil de 0,1 mm de diamètre (difficile à mesurer).
Ces valeurs sont suffisamment faibles par rapport aux forces à mesurer pour pouvoir utiliser cette technique.
Cela a pu être confirmé dans la pratique en vérifiant à l’aide du pointeur laser que le balancier se stabilisait toujours au même endroit. L’écart de position était non mesurable (inférieur à 0,1 degré).

Maintenant que nous connaissons le moment cinétique de notre balancier, nous pouvons calculer sa force de rappel (le moment).
Lorsqu’on suspend le balancier, celui-ci va se mettre à osciller avec une période inversement proportionnelle à la racine carrée de la force de rappel. L’amplitude de l’oscillation va progressivement s’atténuer, tandis que la période de l’oscillation reste quasi constante pour de faibles amplitudes, puis le balancier finira par se stabiliser dans une direction qui servira de référence.

Une fois stabilisé, on marquera la direction de référence au sol. On peut maintenant faire osciller le balancier avec un angle inférieur à 30 degrés et mesurer la période. Attention à ne pas provoquer de courant d’air par un mouvement brusque, car cela perturberait le mouvement du balancier.
Avec le balancier ci-dessus, nous obtenons une période de 26 secondes.
On va ensuite préparer une gamme de crochets sur lesquels on va coller des aimants plus ou moins grands, allant ici de 10 * 4mm à 3 * 2mm:

On visse ensuite chaque crochet sur le balancier, et on mesure la période comme précédemment.
La période croit approximativement selon l’inverse de la racine carrée du volume des aimants.
Nous disposons maintenant d’un balancier avec une gamme de force de rappel adaptée à la force que nous voulons mesurer.

Calcul de la force de rappel
Pour calculer la force de rappel, nous utilisons l’analogie avec le pendule pesant.

Quelques rappels sur les pendules:
Cas d’un pendule simple:
P = 2 * PI * (h/a)^1/2 + e
P: période d’oscillation du pendule en secondes
h: hauteur du pendule en mètres
a: accélération à laquelle est soumis le pendule, sur Terre 9,81m/s²
e: erreur négligeable aux faibles amplitudes (<1% à 20°)

Nous avons vu plus haut que notre balancier étalon avait une période de 26s et un moment cinétique de 0,0874g/m^2
Nous allons considérer que notre balancier est un pendule d’une hauteur d’un mètre avec une masse de 0,0874g à son extrémité, dont nous connaissons la période, soumis à un champ de pesanteur inconnu.
Soit P = 26 et h = 1
26 = 2 * PI * (1/a)^1/2
26 / 2 / PI = (1/a)^1/2
4,138 = (1/a)^1/2
a^1/2 = 1 / 4,138
a^1/2 = 0,24166
a = 0,24166²
a = 0,0584m/s²
Nous pouvons donc comparer notre balancier à un pendule pesant simple d’une hauteur d’un mètre, d’un moment cinétique de 87,4mg/m², soumis à un champ de pesanteur de 0,0584m/s² et dont la force de rappel est identique à celle de notre balancier.

La force de rappel de notre pendule est de:
F = MC * a * sin(alpha)
F: force en Newtons / mètres
MC: moment cinétique en kilogrammes/m²
a: accélération en m/s²
alpha: angle de déplacement du pendule par rapport à sa position au repos

Pour alpha = 1 degré on a:
F = 0,0000874 * 0,0584 * sin(1°)
F = 0,000000089 N/m
Soit 8,9 microgrammes/mètres
Si on place un réacteur à 15cm de l’axe vertical du pivot de notre balancier, il nous faudra exercer une force de 8,9 / 0,15 microgrammes pour maintenir un écart d’un degré par rapport à sa position de repos.
En réduisant la taille de l’aimant, j’arrive à une force de rappel de 10 microgrammes par degrés pour une distance de l’axe de 15 cm.

Nous allons maintenant améliorer la précision de la mesure de la position de notre balancier en y ajoutant un pointeur laser:

Nous utilisons ici une latte de 30cm sur laquelle est fixé un boîtier de logement de 4 piles AA ainsi qu’une diode laser de faible puissance avec une résistance série.
La façon dont est réalisé ce montage est peu importante, l’important étant que le balancier soit équilibré.

Pour améliorer la précision et surtout la fiabilité des mesures, nous devons éviter les turbulences d’air qui perturberaient les mesures.
Nous allons pour ça placer le balancier dans une boîte de protection transparente:

Sur le couvercle il y a un trou de 5mm de diamètre, par lequel on peut passer l’élastique et le fil pour accrocher le crochet du balancier.
On vérifiera que le fil ne touche pas le bord du trou pendant les mesures.

On lira la position du balancier sur une feuille quadrillée verticale:

Ici on a un degré par cm. La précision de lecture pour une diode laser courante est d’un dixième de degré.
Nous pouvons maintenant calculer le moment cinétique de notre nouveau balancier. On va pour cela mesurer sa période d’oscillation comme précédemment.
MC2 = (P2/P1)² * MC1
MC2: moment cinétique du nouveau balancier
MC1: moment cinétique du balancier étalon
P2: période du nouveau balancier
P1: période du balancier étalon
La période pour le balancier étalon est de 26s
La période pour le nouveau balancier (avec l’aimant de l’ancien balancier) est de 37,5s
Le moment cinétique du balancier étalon est de 87,4mg/m^2
Le moment cinétique du nouveau balancier est de (37,5/26)² * 87,4 = 182mg/m²

Cette méthode de calcul présuppose l’absence d’aimantation parasite en provenance du nouveau balancier.
Pour le vérifier, on remplace le crochet de référence par un nouveau sans aimant et on refait une mesure. Pour le nouveau balancier, j’ai mesuré une période d’environ 10 minutes indiquant une légère aimantation parasite. Toutefois celle-ci étant inférieure d’un facteur (600/37)² nous pouvons la considérer ici comme négligeable.
En fait une pile ou même une simple vis en fer suspendue à un fil suffira à observer un alignement sur l’axe nord-sud. On pourra remplacer le fer par de l’inox pour éviter ça.

Connaissant maintenant le moment cinétique et la force de rappel de notre balancier, nous pouvons maintenant l’utiliser pour y placer un réacteur et en mesurer la poussée.

La stabilisation du balancier est assez longue et peut atteindre une heure pour une amplitude d’oscillation inférieure à un dixième de degré, avec l’aimant le plus petit de la gamme.
On peut l’accélérer en se servant d’un aimant que l’on manipule à proximité de la boîte, pour contrer les oscillations du balancier. Avec cette méthode nous pouvons réduire la durée de stabilisation d’un facteur 4.